Matematica discreta Esempi

$f (x) = - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$

Passaggio 1

Scomponi $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Passaggio 1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$- 4 \cdot 1^{3} - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

Passaggio 1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$- 4 \cdot 1 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

Passaggio 1.3.4

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$- 4 - 8 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 9$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- 4 - 8 + 3 \cdot 1 + 9$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $8$ da $- 4$ .

$- 12 + 3 \cdot 1 + 9$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 12 + 3 + 9$

Passaggio 1.3.8

Somma $- 12$ e $3$ .

$- 9 + 9$

Passaggio 1.3.9

Somma $- 9$ e $9$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9}{x - 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ per $x - 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x$

$9$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 x^{2} + 12 x$

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 9 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	+	$9$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 9 x + 9$

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- 4 x^{2} - 12 x - 9$

Passaggio 1.6

Scrivi $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ come insieme di fattori.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 4 \cdot - 9 = 36$ e la cui somma è $b = - 12$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $- 12$ da $- 12 x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi $- 12$ come $- 6$ più $- 6$ .

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} + (- 6 - 6) x - 9)$

Passaggio 2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 6 x - 6 x - 9)$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f (x) = (x - 1) ((- 4 x^{2} - 6 x) - 6 x - 9)$

Passaggio 2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f (x) = (x - 1) (2 x (- 2 x - 3) + 3 (- 2 x - 3))$

Passaggio 2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 2 x - 3$ .

$f (x) = (x - 1) ((- 2 x - 3) (2 x + 3))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x - 3) (2 x + 3)$